Один эффективный метод решения начально-краевых задач поперечных колебаний балки с учетом ее внутреннего сопротивления

Резюме

Актуальность работы. В статье приведен вновь разработанный эффективный метод постановки и решения краевых задач поперечных колебаний балки с учетом внутреннего сопротивления материала балки по гипотезе Е.С. Сорокина. Рассматриваемые колебания, обусловленные приложением к балке сосредоточенных сил в случае, когда концы балки закреплены шарнирно, моделируются краевыми задачами для дифференциального уравнения с комплексным коэффициентом. Комплексный коэффициент создает некоторые математические сложности в процессе решения начально-краевой задачи. Методы исследования. Разработанный в статье метод постановки и решения, подобных начально-краевых задач, основан на последовательном выполнении ряда математических операций. Достоверность и приемлемость разработанного метода доказаны концептуальным анализом и путем сопоставления полученных в статье результатов с ранее известными решениями таких же задач, но без учета внутреннего сопротивления балки. Результаты расчетов, являясь частными случаями при равенстве нулю коэффициента потерь, через который учтено внутреннее сопротивление балки, точно совпадают с результатами, полученными в данной статье. Результаты работы. На основе полученных расчетных формул в статье доказано утверждение о том, что учет внутреннего сопротивления балки существенно уточняет закономерности вынужденных колебаний, когда частота колебаний вынуждающей силы близка к значению собственной частоты колебаний балки. Это показывает высокую эффективность разработанного подхода. На основе проведенного сопоставительного анализа в статье доказано следующее важное утверждение: решения краевых задач, моделирующих вынужденные поперечные колебания балки, поставленные на основе гипотез Е.С. Сорокина и Кельвина-Фойгта, могут резко отличаться одно от другого, однако их амплитудные значения будут точно совпадать. Вследствие того, что вынужденные колебания балки с учетом внутреннего сопротивления моделируются линейными краевыми, либо линейными начально-краевыми задачами математической физики, к ним и к разработанному в статье методу применим принцип суперпозиции решений. Согласно этому принципу, если на балку приложено несколько гармонических сил, то результирующие колебания можно получить наложением колебаний, вызванных каждой отдельной силой. Точно таким же образом можно решить по разработанному методу задачу о колебании балки, когда на нее приложена непрерывно распределенная гармоническая нагрузка, но дискретное суммирование необходимо заменить интегрированием вдоль длины балки.