Геология и Геофизика Юга России

2221-3198

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Федеральный научный центр "Владикавказский научный центр Российской академии наук"

960

10.46698/VNC.2024.21.47.003

Геофизика

О предвестнике землетрясения в сейсмоопасной горной территории

Бабешко

В.А.

rector@kubsu.ruЕвдокимова

О.В.

ras@ssc-ras.ru, babeshko41@mail.ruБабешко

О.М.

Уафа

С.Б.

Лозовой

В.В.

Евдокимов

В.С.

Кубанский государственный университет, Россия, 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149Южный научный центр РАН, Россия, 344006, Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41

30062024

23344

2024

Геология и геофизика Юга России

Актуальность работы состоит в необходимости дальнейшего развития применения высокоточных механико-математических методов в проблеме прогноза нарастания сейсмичности. В частности, строгих математических подходов исследования сейсмичности на горных территориях крайне мало. Целью проведенных исследований явилось решение задачи выявления условий резонансного поведения гармонически колеблющихся литосферных плит, а также горных массивов, вызываемого периодическими приливными воздействиями Луны, атмосферными и иными источниками. Методы работы. Применение новейших математических разработок в области механики деформируемых штампов, опубликованных в высокорейтинговых журналах. Изучается тот случай, когда разлом может иметь любую ширину и литосферные плиты могут приближаться торцами. Такая же ситуация возникает на достаточно узких горных дорогах, окруженных скальными образованиями, а также при приближении долин, где горные гряды оказываются достаточно удаленными. Применяется новейшая разработка, опирающаяся на метод блочного элемента, а также теория контактных задач с деформируемым штампом. При исследовании, использованы методы блочного элемента. Результаты исследования. Разработан метод учета разнотипности горных рельефов и пород за счет возможности перехода, при описании берегов трещин нового типа, к материалам изменяемых реологий и установлены дисперсионные соотношения для определения резонансных частот. Таким образом, с помощью применяемых новых методов в статье показана возможность получения соотношений, позволяющих оценивать степень опасности разрушения литосферных плит.

faultslithospheric platesresonancesearthquakecontact problemdeformable stampsintegral equation

разломылитосферные плитырезонансыземлетрясениеконтактная задачадеформируемые штампыинтегральное уравнение

Введение В ранее опубликованной работе авторов [Евдокимова и др., 2022], с использова- нием трещин нового типа, построены дисперсионные уравнения, служащие целям вычисления резонансных частот, справедливых только для удаленных литосфер- ных плит. В настоящей работе этот недостаток устраняется. Разработаны методы, позволяющие строить дисперсионные соотношения для определения резонанс- ных частот для случаев любой близости торцов литосферных плит. Этот подход позволил исследовать малоизученные некоторые вопросы оценки сейсмического состояния в горных местностях, имеющих протяженные дороги или ущелья. Они зачастую играют важнейшую роль для коммуникаций в горных местностях, часто, связанную с жизнедеятельностью проживающего там населения. В работе, наряду с вопросами сейсмичности, связанными с литосферными пли- тами, изучается вопрос сейсмичности территории в горной местности, имеющей ущелья, которые можно интерпретировать как трещины нового типа. В частности, эти ущелья могут служить целям коммуникаций, с проложенными дорогами или с горными реками. Окружающие их горы могут рассматриваться как берега трещин нового типа. Как и в предыдущей работе, главную роль в исследовании играют обнаруженные ранее и еще малоизученные трещины нового типа [Babeshko et al., 2019; Babeshko et al., 2021]. Охват всех диапазонов изменения параметров трещин нового типа является главной задачей исследования, позволяющей более широко использовать этот механико-математический объект в практическом применении. Важным, при использовании трещин нового типа, является возможность, пусть приближенная, учета деформируемости и изменяемости материалов разной рео- логии как основания в вершине трещины, так и ее берегов. Новым является воз- можность приближенного учета влияния горных массивов как штампов некоторой аппроксимирующей реологии, которую можно изменять, используя некоторые ориентиры, определяемые характером распространяющихся там волн [Бабешко и др., 2021]. В условиях отсутствия иных подходов, предлагаемый метод может служить некоторым приближением для оценки сейсмической обстановки в гор- ных регионах. Вопросам оценки сейсмичности территорий и применения различных методов и способов прогноза землетрясений и ущерба, следующих за ними оползней и се- лей, посвящено значительное число важных работ, облегчающих дальнейшие ис- следования. Следует упомянуть многочисленные предвестники землетрясений, а также подходы и методы, изложенные в работах [Заалишвили и др., 2021; Чернов, 1989; Lu et al., 2007; Chernov et al., 2020; Садовский и др., 1987; Xia et al., 2004; Xia et al., 2005; Geller, 1997; Kagan, 1997; Keer, 1979; Main, Meredith, 1989; Mogi, 1967; Scholz et al., 1973; Wyss, 1991; Atkinson, 1981; Mitchell et al., 2013; Mitchell et al., 2015; Toro, 2011 и др.], каждая из которых, несомненно, содействовала развитию новых методов прогноза, в том числе, и с применением трещин нового типа. Постановка задачи <img width="6" height="5" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_053.png" /> Считаем, с учетом необходимости дальнейшего исследования граничных задач для линейно деформируемых тел, что приливные воздействия на литосферные пли- ты поверхности Земли описываются комплексной функцией eit . Она сокращается в уравнениях и приводит их к стационарной граничной задаче для амплитуд. На ее верхней границе вводится декартова система координат с осями ox1 , ox2 в каса- тельной плоскости и ox3 по нормали. Примеры моделируемых ущелий-трещин в горных грядах приводятся на рисунках 1, 2, 3. <img width="398" height="263" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_054.jpg" /> Рис. 1. Алагирское ущелье. Северная Осетия / Fig. 1. Alagir gorge. North Ossetia <img width="397" height="265" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_055.jpg" /> Рис. 2. Бзыбское ущелье в Абхазии / Fig. 2. The Bzyb gorge of Abkhazia <img width="363" height="237" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_056.jpg" /> Рис. 3. Модель литосферных плит на основании, разделенных ущельем / Fig. 3. Model of lithospheric plates on a base separated by a gorge. Рассмотрим случай, когда материал описывается уравнениями Гельмгольца. Материал в зоне трещин описывается дифференциальными уравнениями Гель- мгольца (рис. 3): 1 2  2x  2x <ul id="l10"> <li style="padding-top: 8pt;padding-left: 12pt;text-indent: -8pt;text-align: left;"> p2 </li> </ul> A1( x1 ,x2 )  g( x1,x2 ), g( x1,x2 )  q( x1,x2 )  t( x1,x2 ),  (   x   A, <img width="1" height="16" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_057.png" /> x <img width="1" height="16" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_058.png" />   ), p2  c2 A 1 2 (1) 1 2  2x  2x  p2  ( x ,x )  g( x ,x ), g( x ,x )  q( x ,x )  t( x ,x ), A1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 A( A  x1  , <img width="1" height="16" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_059.png" /> x2 <img width="1" height="16" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_060.png" />  ) с граничными условиями  A1( x1 ,x2 )  ( A,x2 ), x1  A, Введя соотношение: A1( x1 ,x2 )  ( A,x2 ), x1  A,  1 2  1 2 2 (x , )  (x ,x )ei2 x2 dx ,  получаем одномерную граничную задачу с параметром 2 : ( 2x  k 2 ) ( x , )  g ( x , ),  (   x   A ), k 2  p2  2 1  A1 1 2  A1 1 2  A 1 2 ( 2x  k 2 ) (x , )  g (x , ),  ( A  x  , ) 1 A1 1 2 A1 1 2 A 1 (2) <img width="59" height="19" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_061.png" /> g A1( x1 ,2 )  q A1( x1 ,2 )  t A( x1 ,2 ), g A1( x1 ,2 )  qA1( x1 ,2 )  t A1( x1 ,2 ), (2) ( x1 )  ( x1 ,2 ), ( x1 ,2 )  (  A,2 ), x1   A,  A1( x1 ,2 )  (  A,2 ), x1   A, A1( x1 ,2 )  ( A,2 ), x1  A, Параметр 2 временно опускается до конца статьи. ( 2x  k 2 ) ( x , )  g ( x ),  (   x   A ), k 2  p2  2 1  A1 1  A1 1  A 1 2 ( 2x  k 2 ) (x )  g (x ),  ( A  x  , ) 1 A1 1 A1 1 A 1 g A1( x1 )  q A1( x1 )  t A1( x1 ), g A1( x1 )  qA1( x1 )  tA1( x1 ), (3) ( x1 )  ( x1 ), g( x1 )  g( x1 ),  A1( x1 )  (  A ), x1   A, ( x1 )  (  A), x1  A, A1( x1 )  ( A ), x1  A, Применяемый метод исследования <ul id="l11"> <li style="padding-left: 4pt;text-indent: -4pt;line-height: 7pt;text-align: left;"> A1 </li> </ul> Строятся упакованные блочные элементы, порождаемые граничной задачей (3) [Babeshko et al., 2021]:  A1(1 )  i(1  k ) <ul id="l12"> <li style="padding-top: 8pt;padding-left: 2pt;text-indent: -4pt;text-align: left;"> A1 (C)ei1C  Q (k )ei (1k )C  Q ( )  T (k )ei (1k )C  T ( )  A1 1 <ul id="l13"> <li style="padding-left: 20pt;text-indent: -4pt;line-height: 7pt;text-align: left;"> A1 </li> </ul> </li> </ul>  A1 1 A1 1 1 A1 A1 A1 1 A1 A1 1  ( )  i(  k ) ( A)ei1A  Q (k )ei(1 k ) A  Q ( )  T (k )ei(1 k ) A  T ( ) Здесь приняты обозначения заглавными буквами преобразований Фурье строчных:  1  1 1 (  )  ( x )ei1x1 dx   1    (  ) r 1 2  r 1 1 <img width="16" height="1" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_062.png" /> r 1 N(  ) <img width="41" height="1" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_063.png" /> (4)  ( x )   (  )e i 1 x1 d ,  1 N(  )  ( 2  k 2 )  (  )  r 1 , r  A, 1 <ul id="l14"> <li style="padding-left: 15pt;text-indent: -8pt;line-height: 4pt;text-align: left;"> A, Контактная задача для основания и литосферных плит Применяется контакт без трения. Уравнения контактной задачи имеют вид [Ворович, Бабешко, 1979]:   A  A k(x1  1, x2  2 )q A (1,2 )d1d2  k(x1  1, x2  2 )qA (1,2 )d1d2  ur ( x1, x2 ), x1, x2 r , r   A, A, (5) , x    x   x , k(x , x )  1 K ( , )ei  ,x  d d <img width="23" height="1" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_064.png" /> 4 1 1 2 2 1 2 2  R2 1 2 1 2 <img width="52" height="20" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_065.png" /> K ( , )  O(v1), u   2   2  . 1 2 1 2 Пример, функция K 1,2  имеет вид: <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_066.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_067.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_068.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_069.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_070.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_071.png" /> ( u )  x2(  sh ch  u2 1sh ch )1( u ) 2 1 1 2 2 2 1 <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_072.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_073.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_074.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_075.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_076.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_077.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_078.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_079.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_080.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_081.png" /> ( u )  u2( 2u2   2 )  u2 1 1sh sh [ 2u4  ( 2  2 2 )u2   2 2  0,25 4 ] 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 <img width="49" height="20" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_082.png" /> <img width="49" height="20" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_083.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_084.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_085.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_086.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_087.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_088.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_089.png" /> ch ch ( 2u4   2u2  0,25 4 ),   u2   2 ,   u2   2 1 2 2 2 1 1 2 2 <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_090.png" /> <img width="8" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_091.png" /> <img width="9" height="9" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_092.png" /> <img width="18" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_093.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_094.png" /> <img width="9" height="9" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_095.png" /> <img width="18" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_096.png" /> 1 2  2  (   2 )1  2h2 ,  2   1 2h2 Система уравнений упрощается до следующего вида: <ul id="l15"> <li style="padding-left: 165pt;text-indent: -4pt;line-height: 7pt;text-align: right;"> A </li> </ul> </li> </ul> ur ( x1 )     <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_097.png" /> <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_098.png" /> <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_099.png" /> k( x1  1 )q A( 1 )d1   A k( x1  1 )qA( 1 )d1 , <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_100.png" /> <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_101.png" /> <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_102.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_103.png" /> <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_104.png" /> <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_105.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_106.png" /> k( x1 )  k( x1 ,2 ), qr( 1 )  qr( 1 ,2 ), (6) <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_107.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_108.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_109.png" />  1 i <img width="5" height="4" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_110.png" /> <img width="17" height="1" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_111.png" /> 1 1 2 1 2  1 1 <img width="8" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_112.png" /> k( x )  k( x , ) k( x )   K(  )e 1x1 d , <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_113.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_114.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_115.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_116.png" /> K( 1 )  K( 1 ,2 ), ur( x1 )  ur( x1 ,2 ), r   A, A Асимптотика нулей имеет вид [Ворович, Бабешко, 1979]: m s  i( s  0.5)( 1 o1 ), s  , z  i m( 1 o1 ), m  ,   const  0 . <img width="5" height="4" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_117.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_118.png" /> Некоторое конечное число нулей и полюсов может быть вещественным. В этом случае представление ядра дается контурным интегралом вида: k( x1 )  1 <img width="17" height="1" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_119.png" /> <img width="16" height="12" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_120.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_121.png" />  2  K( )ei1 x1 d . <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_122.png" /> 1 1 Контур  совпадает с вещественной осью всюду, кроме зон вещественных полюсов, которые обходятся им по полуокружностям малого радиуса [Ворович, Бабешко, 1979]. Для решения задачи продолжим систему интегральных уравнений (6) на всю ось, добавив справа на отрезке [  A, A ] новую неизвестную функцию w(x1 ) , представляющую перемещение поверхности среды в промежутке между штампами. О факторизационном методе Винера-Хопфа Приравняв перемещения, имеем в двойственном пространстве: <img width="9" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_123.png" /> ur( x1 )  r( x1 ), x1 r , r  A,A 1  A1 1 1  A1 1  A1 K ( )Q ( )  ( 2  k 2 )1[Q ( )  S ], 1 1  A1 1 1  A1 [K ( )  ( 2  k 2 )1]Q ( )  ( 2  k 2 )1S ] 1 A1 1 1 A1 1 A1 K ( )Q ( )  ( 2  k 2 )1[Q ( )  S ], 1 1 A1 1 1 A1 [K ( )  ( 2  k 2 )1]Q ( )  ( 2  k 2 )1S ] S  i(  k ) ( A)ei1A  Q (k )ei (1k ) A  T (k )ei (1k ) A  T ( )  A1 1 <ul id="l16"> <li style="padding-left: 27pt;text-indent: -4pt;line-height: 7pt;text-align: left;"> A1 <ul id="l17"> <li style="padding-left: 34pt;text-indent: -4pt;line-height: 7pt;text-align: right;"> A1 </li> <li style="padding-left: 34pt;text-indent: -4pt;line-height: 7pt;text-align: right;"> A1 </li> </ul> </li> </ul>  A1 1 A1 1 A1 A1 A1 A1 1 S  i(  k ) ( A)ei1A  Q (k )ei(1 k ) A  T (k )ei(1 k ) A  T ( ) Это дает соотношение: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 K ( )Q ( ) W ( )  K ( )Q( )   ( 2  k 2 )1(S   S  ), K ( )  [K ( )  ( 2  k 2 )1] (7) Здесь W1(1 ) 1 1 1 1 1 1 1 <ul id="l18"> <li style="padding-left: 13pt;text-indent: -10pt;text-align: left;"> преобразование Фурье свободной от напряжений зоны между штампами. Для сомкнувшихся торцов, имеем уравнению: W1(1 )  0 , что приводит к 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 K ( )Q( )  K ( )Q( )  ( 2  k 2)1(S  S ) . (8) Введем обозначения: Q( )  Q ( ), S  S ( ) Q( )  Q ( ), S( )  S ( ) . 1 1  A1 1 1  A 1 1 1 A1 1 1 1 A 1 Знак плюс означает регулярность аналитической функции комплексного переменного в верхней полуплоскости, а минус – в нижней. Об интегральном уравнении на конечном отрезке Разделив (7) на K (1) , имеем: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Q( )  K 1( )W ( )  Q( )  K 1( )( 2  k 2)1(S  S) . (9) Представив (9) в интегральном виде, получим: A <img width="1" height="16" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_124.png" /> <img width="1" height="16" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_125.png" /> <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_126.png" /> <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_127.png" /> <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_128.png" /> <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_129.png" /> <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_130.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_131.png" />  k11( x1 - 1 )w11( 1 )d1  f11( x1 ), x1  A, w11( 1 )  w11( 1 ,2 ),, -A (10) <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_132.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_133.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_134.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_135.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_136.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_137.png" /> 1  <img width="5" height="4" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_138.png" /> 11 1 2  <img width="8" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_139.png" /> 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 1 2 <img width="17" height="1" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_140.png" /> k ( x )  - <img width="1" height="16" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_141.png" /> <img width="1" height="16" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_142.png" /> Имеем: K 1(  )e-i1x1 d , K 1(  )  P-1(  )R (  ), k ( x )  k ( x , ) 1      <img width="17" height="1" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_143.png" /> i 11 1 2  1 1 1 1 1 1 1 f (x )  - K 1( )( 2  k 2 ) 1(S  S )e 1x1 d , x  A . <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_144.png" /> 1 1 Функция K-1 ( )имеет поведение: <img width="16" height="16" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_145.png" /> <img width="16" height="16" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_146.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_147.png" /> K-1 ( )  O(  ),   . 1 1 1 1 Вынесем дифференциальный оператор и решим уравнение, имеем: A  11 1 1 11 1 1 11 1 <img width="6" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_148.png" /> <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_149.png" /> <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_150.png" /> <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_151.png" /> ( 2  2 ) n (x -  )w (  )d  f (x ), -A 1  <img width="5" height="4" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_152.png" /> <img width="17" height="1" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_153.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_154.png" /> <img width="6" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_155.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_156.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_157.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_158.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_159.png" /> <img width="6" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_160.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_161.png" /> <img width="8" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_162.png" /> 2 1 1 1 1 11 1 1 1 1 n11( x1 )   - (  2  2 )1K 1(  )e-i1x1 d , N (  )  (  2  2 )1K 1(  ) A  11 1 1 11 1 1 11 1 11 12 <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_163.png" /> <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_164.png" /> <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_165.png" /> <img width="4" height="4" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_166.png" /> <img width="4" height="4" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_167.png" /> n (x -  )w (  )d  f (x )  c e x1  c e x1 -A (11) <img width="1" height="16" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_168.png" /> <img width="1" height="16" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_169.png" /> <img width="6" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_170.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_171.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_172.png" /> 1       <img width="18" height="1" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_173.png" /> i <img width="5" height="4" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_174.png" /> 11 1 2  1 1 1 1 1 1 1 1 <img width="8" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_175.png" /> f ( x )= - K 1(α )( α 2  2 ) 1(  2  k 2 ) 1( S  S )e 1x1 d , x  A Получим решение в виде: <img width="5" height="0" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_176.png" /> <img width="176" height="21" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_177.png" /> w (x )  m11( x1 )  c11m12 ( x1 )  c12m13( x1 ) . (12) 11 1  Q ( chA ) 2chA - 2chx - 1 1 2 Здесь mrs ( x1 ) ‒ некоторые непрерывные функции, появляющиеся в процессе. Решения интегрального уравнения являются известными. Q 1 ( chA ) – функция - <img width="5" height="0" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_178.png" /> 2 Лежандра [Гохберг, Крейн, 1967]. Для непрерывности w11( x1 ) необходимо, чтобы она обращалась в нули в точках x1   A . Это приводит к уравнениям: c11m12 ( A)  c12m13( A)  m11( A)  0 c11m12 (- A)  c02m13(- A)  m11(- A)  0 Из них имеем: c  1 m (- A )m ( A)- m ( A )m (- A) 11 11 13 1 13 c  1 m ( A )m (- A)- m (- A )m ( A) 12 11 12 1 12   m12 ( A )m13(- A)- m12 (- A )m13( A) Определив постоянные c11 , c12 , изучим дисперсионное уравнение Воровича И.И. [Ворович, 1979а; 1979б]. Возьмем соотношения: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Q( )  Q( )  K 1( )( 2  k2)1(S  S )  K 1( )W ( ) . A1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Q ( )  Q ( )  K 1( )( 2  k 2 )1(S   S  )  K 1( )W ( ) Q ( )  Q ( )  K 1( )( 2  k 2 )1(S   S  )  K 1( )W ( )  A1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Осуществим разложение правых частей этих выражений, выделив функционалы QA1(k ) и Q A1( k ) . В результате получим соотношения: <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_179.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_180.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_181.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_182.png" /> Q ( )  Q ( k )R(  )  Q ( k )R(  )  R(  ) A1 1 A1 1 1  A1 2 1 3 1 (13) <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_183.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_184.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_185.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_186.png" /> A1 1 A1 1 1  A1 2 1 3 1 Q ( )  Q ( k )R(  )  Q ( k )R(  )  R(  ) Внеся в эти соотношения последовательно 1  k в первое, затем 1  k во <img width="4" height="22" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_187.png" /> <img width="4" height="22" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_188.png" /> второе и, вычислив функционалы из полученной алгебраической системы уравнений, получим их значения в виде: A1 1 3 2 3 2 Q ( k)  1 R( k ) 1 R( k )  R( k )R( k) Q ( k)  1 <img width="4" height="22" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_189.png" /> R( k )R( k)  R( k ) 1 R( k )<img width="4" height="22" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_190.png" /> A1 1 3 1 3 2 1 1 2 2 1  ( k)  1 R( k ) 1 R( k )  R( k )R( k) <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_191.png" /> С учетом того, что, k зависит от  , получили предсказанное академиком И.И. Воровичем следующее соотношение: 1 2 2 1 1 R( k ) 1 R( k )  R( k )R( k)  0 . (14) <h2 style="padding-top: 4pt;padding-left: 23pt;text-indent: 17pt;line-height: 109%;text-align: justify;"> Пример. Ввиду того, что изучение разработанным методом поиска пред- вестников землетрясений для реальной ситуации сложно, что будет делаться с привлечением аппаратных средств в будущем, в качестве примера рассмотрим модельную задачу, содержащую все элементы построений настоящей статьи.</h2> <img width="10" height="8" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_192.png" /> Рассмотрим тот случай, когда в соотношениях (6) функция K(1 ) являет- <img width="8" height="15" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_193.png" /> ся мероморфной, имеющей счетное число нулей zm и полюсов r , зависящих от частоты колебаний и растущих с ее ростом, что свойственно динамическим контактным задачам. Среди этих нулей и полюсов конечное число должно быть вещественных [Ворович, Бабешко, 1979]. Для получения качественной кар- тины, ограничимся рассмотрением того случая, когда мероморфная функция урезается путем оставления лишь конечного числа вещественных полюсов, что сохраняет возбуждение волн. Тем самым, сможем получить качественную кар- тину, которая может служить и первым приближением к реальной. Ради краткости, рассмотрим в (6) тот случай, когда: K(u )  (u2  A2 )1, A  0 <img width="4" height="6" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_194.png" /> <img width="4" height="6" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_195.png" /> <img width="8" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_196.png" /> <img width="8" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_197.png" /> <img width="8" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_198.png" /> <img width="8" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_199.png" /> <img width="8" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_200.png" /> <img width="8" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_201.png" /> <img width="8" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_202.png" /> K 1( )  K 1(  ), F( )  F(  ), f ( x )  F( )( eix  eix )  2F( )cosx . <img width="6" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_203.png" /> 11 Тогда имеем: N (u )  (u2  A2 )(u2  B2 )1,   iB , <img width="4" height="6" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_204.png" /> <img width="4" height="6" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_205.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_206.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_207.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_208.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_209.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_210.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_211.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_212.png" /> 1 1 f ( x )  F( )( eix  eix )  2F( )(2  B2 )1 cosx  ccos Bx, F( )  F( )(2  B2 )1 .В этом случае преобразование Фурье ядра интегрального уравнения имеет вещественными по одному положительному нулю, u  A , и полюсу, u  B . <img width="7" height="13" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_213.png" /> В том случае, если у функции N11(u ) имеется счетное число нулей zm и полюсов r , интегральное уравнение (6) одним из методов приводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений вида [Ворович, Бабешко, 1979]:   m1 ( 1 <img width="39" height="18" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_214.png" /> r  zm    m1 1 <img width="39" height="18" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_215.png" /> r  zm eizm 2a )X (  )  <img width="4" height="6" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_216.png" /> (15) <img width="4" height="6" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_217.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_218.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_219.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_220.png" /> m 1 2  D ( )F( )eia  cD ( )eiBa Здесь приняты обозначения правой части <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_221.png" /> Ds ( ) ‒ некоторые рациональные функции. f ( x )  F( )eix . <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_222.png" /> Решение интегрального уравнения ищется в виде разложения:  <img width="4" height="6" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_223.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_224.png" /> q( x )  D ( )( x  a )eix  ( A eizm ( a  x )  A eizm ( a  x ) ), ( A  A )  X (  ) . 3 m m m1 m m m Переходя в системе (15) к урезанному интегральному уравнению, оно приводит к конечной одномерной алгебраической системе вида: eiAa ( <img width="33" height="1" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_225.png" />  1 eiAa )X (  )  <img width="33" height="1" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_226.png" /> B  A B  A 1 <img width="4" height="6" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_227.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_228.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_229.png" /> <img width="7" height="10" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_230.png" /> 1 2  D ( )F( )ei(   A )a  cD ( )ei( B  A )a При определении постоянной c из этого уравнения, ясно, что дисперсионное уравнение является коэффициентом при неизвестном в левой части, в котором A  A(  ). Определяя нули функции 0 eiAa  eiAa  <img width="32" height="1" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_231.png" /> <img width="33" height="1" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_232.png" /> B  A B  A выясняем, что они строятся графически как пересечение тангенсоид с прямой второго и четвертого квадрантов из уравнения: <img width="567" height="4" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_233.png" /> <img width="6" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_234.png" /> tg p    p , p  1,2,.... <img width="17" height="1" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_235.png" /> <img width="6" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_236.png" /> aB Асимптотическое представление нулей дается соотношением: <img width="6" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_237.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_238.png" /> <img width="9" height="7" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_239.png" /> A   p  ( p   ) 1 . <img width="14" height="1" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_240.png" /> <img width="9" height="1" alt="image" src="Геол.журнал №2_2024_с обл/Image_241.png" /> p a 2 a Отсюда видно, что чем более узким будет ущелье, тем выше должна быть часто- та сейсмической волны, приводящей к резонансу. Выводы Полученный в работе результат демонстрирует метод построения резонансно- го уравнения для разлома, описываемого трещиной нового типа в средах различ- ных реологий, которые можно вводить описанным способом, опираясь на подход [Babeshko et al., 2021]. Полученный результат показал, что не только отдельная изолированная литосферная плита, но и сблизившиеся на любое расстояние ли- тосферные плиты имеют, при колебании, изолированные резонансы, повышаю- щие уровень сейсмичности. Полученный результат может давать определенные ориентиры для оценки сейсмичности на горных территориях, принимая в каче- стве трещин нового типа ущелья, а также дороги или долины, окруженные гора- ми, поскольку применяемый метод справедлив для любых значений параметров ширины разлома.