Геология и Геофизика Юга России

2221-3198

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Федеральный научный центр "Владикавказский научный центр Российской академии наук"

1206

10.46698/VNC.2025.96.62.001

Геофизика

К задачам теории «вирусов» вибропрочности в сейсмологии

Телятников

И.С.

ilux_t@lisl.ruПавлова

А.В.

Южный научный центр РАН, Россия, 344006, г. Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41; Кубанский государственный университет, Россия, 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149Кубанский государственный университет, Россия, 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149

30062025

2116127

2025

Геология и геофизика Юга России

Актуальность работы. Задачи теории упругости и математической физики для тел с разрезами нулевой толщины вызывают интерес в связи с многочисленными приложениями, в том числе в геофизике и сейсмологии. Круг геофизических задач, решаемых с использованием математических моделей деформируемых сред, содержащих дефекты типа трещин, очень широк. В сейсморазведке применение таких моделей позволяет учитывать наличие неоднородностей, что дает возможность повысить точность интерпретации натурных экспериментов. Интенсивно развиваемые методы моделирования динамических процессов в системах, включающих основания с расслоениями, находят применение при решении актуальных проблем виброзондирования слоистых геологических пород, нефтедобычи и пр. При этом решение прямых задач расчета волновых полей, возбуждаемых внутренними источниками в деформируемой среде, является неизбежным этапом решения задач обнаружения и идентификации скрытых неоднородностей. Цель работы – развитие полуаналитических методов решения задач для слоистых структур, содержащих внутренние трещины. Методы исследования. В качестве уравнений движения сплошной среды приняты уравнения Ламе в перемещениях, поставлена граничная задача с разрывными граничными условиями в области дефектов. Метод блочного элемента использован для построения порождаемой задачей системы интегральных уравнений, для решения последних использован метод фиктивного поглощения. Результаты работы. Представлен полуаналитический метод исследования вызывающих особый интерес локализационных и резонансных эффектов, связанных со спектральными свойствами задач для слоистых структур с трещинами.

modeling of geological environmentlayered structureplanar cracksblock element methodsystem of integral equationsfictitious absorption methodlocalization conditions

моделирование геологической средыслоистая структурапланарные трещиныметод блочного элементасистема интегральных уравненийметод фиктивного поглощенияусловия локализации

Введение Активное использование инструментальных методов управляемой активной сейсмологии, направленных на изучение внутренней структуры Земли, ставит немало задач, решение которых требует развития механико-математических моделей и совершенствования методов их исследования [Изменение ..., 2008]. Для Северного Кавказа, являющегося одним из наиболее сейсмоопасных регионов России [Стогний и др., 2022], эти проблемы особенно актуальны. При моделировании геологической среды широкое распространение получила модель слоистого упругого полупространства с плоскопараллельными границами или пакета слоев [Собисевич и др., 2020]. Сопоставление результатов использования этой модели с данными мониторинга позволяет получать и интерпретировать сведения о процессах возбуждения и распространения сейсмических волн в результате воздействий поверхностных и заглубленных источников различной природы. Поэтому исследование взаимодействия упругих волн с границами раздела в многослойных средах и влияние границ на их поведение находит широкое применение в геофизике и сейсмологии. При этом часто используется классическое граничное условие идеального (жесткого) соединения для поверхности раздела, характеризующееся непрерывностью перемещений и напряжений на границах раздела. Кроме того, распространенные в реальной среде полости, трещины и другие неоднородности различного размера и природы активно развиваются в литосфере сейсмоопасных регионов, меняя пространственную картину формируемых волновых полей и влияя на локальные и глобальные резонансные свойства отдельных образований горной породы. С такими дефектами нередко связывают крупные сейсмические события, являющиеся источниками геофизических катастроф [Собисевич и др., 2020]. В настоящее время исследованию различных аспектов динамики сред, содержащих трещины, посвящено большое количество работ как зарубежных, так и отечественных авторов, демонстрирующих разнообразные подходы [Бабешко, 2000; Komatitsch, Tromp, 1999; Ceeseman, Santare, 2002; Ватульян, Баранов, 2005; Кардовский и др., 2004; Пряхина, Смирнова, 2005; Shifrin, 2015; Глушков и др., 2006; Собисевич, 2010; Стогний и др., 2020]. Одна из часто применяемых математических моделей трещины – математический разрез. Для трещины нулевой толщины используют различные граничные условия на ее берегах: раскрытая трещина, трещина с заданными на берегах напряжениями, трещины с равномерно и неравномерно распределенными внутренними связями. В работах В.А. Бабешко проведена систематизация различных типов неоднородностей и сформулированы положения теории «вирусов» вибропрочности. Для дефектов типа трещин, одиночных и множественных, расположенных в параллельных плоскостях, в работах [Бабешко, 2000; Кардовский и др., 2004; Пряхина, Смирнова, 2005; Telyatnikov, Pavlova, 2023] представлены методы исследования задач в рамках указанной теории. Получение решения интегральных уравнений в полуаналитической форме сокращает вычислительные затраты. Внутренние неоднородности могут приводить к перераспределению напряжений и деформаций в массиве и земной коре [Заалишвили, Голик, 2024]. А влияние на геологическую среду различных видов вибраций, в том числе техногенных, может приводить к возникновению возбужденной сейсмичности [Изменение …, 2008]. В работе рассматриваются задачи об установившихся колебаниях слоисто-структурированных сред, содержащих планарные трещины, результаты исследования которых могут быть использованы при моделировании воздействий на геологическую среду широко распространенных длительных вибраций. Исследование направлено на изучение закономерностей вибрации трещин и развитие методов решения задач, описывающих эти процессы. Особый интерес вызывает изучение локализационных и резонансных эффектов, связанных со спектральными свойствами задач для слоистых структур с трещинами. В работе продемонстрирован подход к решению задач для слоистых структур с планарными трещинами на основе теории «вирусов» вибропрочности и применения факторизационных методов. Общая постановка задачи Слоистость – один из признаков, свойственных осадочным и метаморфическим комплексам горных пород. Геологическое строение среды в сейсмически активных областях нередко представлено сложными многослойными разрезами, но в тех случаях, когда геологический разрез местности относительно прост в смысле геометрии напластования пород и рельефа местности, модель верхней части земной коры можно представить в виде системы плоскопараллельных горизонтальных слоев. Изучаемая краевая задача для пакета из <img class="frame-123" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image164888_fmt.png" alt="Image164888.PNG" /> слоев с защемленной нижней гранью описывается уравнениями Ламе относительно перемещений. В декартовой системе координат плоскость x1Оx2 параллельна поверхности пакета <img class="frame-124" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image164905_fmt.png" alt="Image164905.PNG" />, ось Оx3 направлена перпендикулярно вверх. Упругие характеристики слоев, ограниченных плоскостями <img class="frame-125" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image164930_fmt.png" alt="Image164930.PNG" /> <img class="frame-126" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image164937_fmt.png" alt="Image164937.PNG" />, обозначены через <img class="frame-127" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image164957_fmt.png" alt="Image164957.PNG" />, плотность – <img class="frame-128" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image164973_fmt.png" alt="Image164973.PNG" />. Время входит в формулировку задачи в качестве параметра. Для установившихся гармонических колебаний принята комплексная форма записи и все функции представимы в виде: <img class="frame-129" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image164991_fmt.png" alt="Image164991.PNG" />, <img class="frame-130" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165005_fmt.png" alt="Image165005.PNG" /> и далее изложение проводится для амплитудных параметров, тильда опущена. Определяющие уравнения имеют вид: <img class="frame-131" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/168126.png" alt="168126.png" /> (1) Здесь для перемещений при <img class="frame-132" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165057_fmt.png" alt="Image165057.PNG" /> введены обозначения <img class="frame-133" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165073_fmt.png" alt="Image165073.PNG" />,<img class="frame-134" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165090_fmt.png" alt="Image165090.PNG" />, для векторов напряжений – <img class="frame-135" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165106_fmt.png" alt="Image165106.PNG" />, <img class="frame-136" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165122_fmt.png" alt="Image165122.PNG" />, где <img class="frame-137" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165141_fmt.png" alt="Image165141.PNG" />– компоненты тензора напряжений, <img class="frame-138" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165157_fmt.png" alt="Image165157.PNG" /> – составляющие вектора нормали к площадке. Будем полагать, что на поверхности среды в заданной конечной области <img class="frame-139" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165174_fmt.png" alt="Image165174.PNG" /> действует гармонический источник, в интерфейсных плоскостях содержатся плоские трещины, занимающие непересекающиеся односвязные области <img class="frame-137" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165188_fmt.png" alt="Image165188.PNG" />, <img class="frame-140" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165206_fmt.png" alt="Image165206.PNG" />.Наличие трещин и расслоений при использовании модели слоистой протяженной среды описывается заданием в области дефектов разрывного условия для перемещений, вне областей дефектов задается абсолютный контакт слоев (непрерывность полей напряжений и перемещений). Граничные условия запишутся в форме: <img class="frame-141" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/168185.png" alt="168185.png" /> Во избежание неоднозначности решения задачи об установившихся колебаниях в качестве условия излучения выбирается принцип предельного поглощения [Ворович, Бабешко, 1979]. Воспользуемся методом блочного элемента (МБЭ) [Babeshko et al., 2013], выделив в пакете слои-блоки. В результате реализации алгоритма МБЭ для задачи (1)–(4) приходим к системе интегральных уравнений (СИУ) в плоскостях раздела слоев: <img class="frame-142" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/168200.png" alt="168200.png" /> Неизвестными в (5), (6) являются скачки перемещений в областях трещин <img class="frame-143" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165598_fmt.png" alt="Image165598.PNG" /> и напряжения под штампом на поверхности <img class="frame-144" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165612_fmt.png" alt="Image165612.PNG" />. Интегральные операторы имеют вид: <img class="frame-145" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/168210.png" alt="168210.png" />, где ядра зависят от частоты и параметров системы и представляются <img class="frame-146" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/168223.png" alt="168223.png" /> Положение контуров <img class="frame-127" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165661_fmt.png" alt="Image165661.PNG" /> в комплексной плоскости определяется принципом предельного поглощения [Ворович, Бабешко, 1979], структура матриц <img class="frame-137" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165677_fmt.png" alt="Image165677.PNG" /> приведена в работе [Pavlova, Telyatnikov, 2019]. Методы построения символов и матриц-символов интегральных уравнений (ИУ) и СИУ задач для сред с единичными и множественными трещинами и их решения рассмотрены также в работах [Ткачев, 1979; Кардовский и др., 2004; Пряхина, Смирнова, 2005; Собисевич, 2010; Pavlova, Telyatnikov, 2019; Telyatnikov, Pavlova, 2023]. При решении трехмерных задач о колебаниях структур с трещинами зачастую используют метод граничных интегральных уравнений, где для отыскания скачка перемещений применяется метод Галеркина [Глушков, Глушкова, 1996; Bostrom, 2003]. Особенностью ИУ, возникающих при моделировании среды, содержащей трещины, является растущий характер символов ядер на бесконечности, вследствие чего ядра представляются обобщенными функциями. В работе [Ткачев, 1979] регуляризация систем интегральных уравнений первого рода проведена с помощью факторизации функций и матриц-функций, авторами [Пряхина, Смирнова, 2005; Telyatnikov, Pavlova, 2023] использован метод фиктивного поглощения (МФП), описанный в монографии [Бабешко, 1984]. Следуя примененному в работах В.А. Бабешко приему, осуществляется преобразование интегральных операторов за счет выноса дифференциального оператора <img class="frame-147" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165699_fmt.png" alt="Image165699.PNG" /> и формулировки дополнительных условий для устранения неопределенности в решении исходных ИУ. В качестве дополнительных ограничений, накладываемых на решения, принимаются условия равенства нулю скачков перемещений на границах областей, занятых трещинами. Для СИУ с преобразованным оператором может быть применен метод фиктивного поглощения (МФП), различные модификации которого описаны в работах [Кардовский и др., 2004; Пряхина, Смирнова, 2005; Telyatnikov, Pavlova, 2023]. Представим матрицу-символ ядра СИУ <img class="frame-148" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165715_fmt.png" alt="Image165715.PNG" /> <img class="frame-149" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/168237.png" alt="168237.png" /> (7) в виде <img class="frame-150" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165746_fmt.png" alt="Image165746.PNG" />, <img class="frame-151" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165771_fmt.png" alt="Image165771.PNG" />, где <img class="frame-152" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165783_fmt.png" alt="Image165783.PNG" /> – единичная матрица, <img class="frame-153" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165797_fmt.png" alt="Image165797.PNG" /> соответствует задачам для сред с затуханием. Асимптотические свойства элементов и определителей <img class="frame-123" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165813_fmt.png" alt="Image165813.PNG" /> и <img class="frame-153" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165830_fmt.png" alt="Image165830.PNG" /> совпадают при <img class="frame-154" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165846_fmt.png" alt="Image165846.PNG" />, отличием для <img class="frame-153" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165862_fmt.png" alt="Image165862.PNG" /> является отсутствие особенностей на вещественной оси [Ворович, Бабешко, 1979]. На вещественных осях построим аппроксимации элементов матриц <img class="frame-155" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165881_fmt.png" alt="Image165881.PNG" /> <img class="frame-132" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165897_fmt.png" alt="Image165897.PNG" /> рациональными функциями, <img class="frame-156" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165914_fmt.png" alt="Image165914.PNG" />, <img class="frame-157" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165938_fmt.png" alt="Image165938.PNG" />, <img class="frame-158" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165947_fmt.png" alt="Image165947.PNG" />, обозначив <img class="frame-159" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165968_fmt.png" alt="Image165968.PNG" /> и <img class="frame-160" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image165982_fmt.png" alt="Image165982.PNG" /> полярные множества <img class="frame-161" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166008_fmt.png" alt="Image166008.PNG" /> и <img class="frame-160" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166022_fmt.png" alt="Image166022.PNG" /> соответственно. Используя теорему теории возмущений [Бабешко, 1984], для построения приближенного решения (7) будем рассматривать СИУ: <img class="frame-162" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/168262.png" alt="168262.png" /> Далее символ «*» опущен. Алгоритм МФП предполагает представление решения в виде <img class="frame-163" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166073_fmt.png" alt="Image166073.PNG" />, где <img class="frame-164" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166089_fmt.png" alt="Image166089.PNG" />. Здесь и далее использованы обозначения <img class="frame-165" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166099_fmt.png" alt="Image166099.PNG" /> для операторов прямого и обратного преобразования Фурье порядка n. Тогда <img class="frame-166" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166122_fmt.png" alt="Image166122.PNG" /> на множествах <img class="frame-165" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166138_fmt.png" alt="Image166138.PNG" />. Используя по схеме метода новую неизвестную <img class="frame-167" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166157_fmt.png" alt="Image166157.PNG" />, для нее получим: <img class="frame-168" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/168280.png" alt="168280.png" /> где матрица-символ ядра оператора <img class="frame-169" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166197_fmt.png" alt="Image166197.PNG" /> имеет вид <img class="frame-170" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166213_fmt.png" alt="Image166213.PNG" /> Тогда решение (7) получим в следующем виде: <img class="frame-171" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/168292.png" alt="168292.png" /> Из совпадения носителей вектор-функций <img class="frame-140" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166282_fmt.png" alt="Image166282.PNG" /> и <img class="frame-172" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166296_fmt.png" alt="Image166296.PNG" /> вытекает условие [Бабешко, 1984]: <img class="frame-173" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/168303.png" alt="168303.png" /> (8) Решение интегрального уравнения для одиночной трещины Встречаются случаи, когда в колебательном процессе, в который вовлечены большие объемы горной породы, предпочтение должно быть отдано локальным структурам, формирующим источники возмущений [Собисевич и др., 2020]. Большое число работ посвящено численному решению задач для деформируемых структур с одиночной трещиной. В рассматриваемых в данной работе моделях не учитывается возможность контакта берегов трещины. Подходы, основанные на модели контактной зоны [England, 1965], преодолевают проблему взаимопроникновения берегов трещины, однако зона взаимопроникновения обычно мала по сравнению с длиной трещины [Erdogan, 1963]. Приведем ИУ осесимметричной задачи для одного слоя-блока, содержащего трещину отрыва в плоскости, параллельной границам: <img class="frame-174" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/168331.png" alt="168331.png" /> где <img class="frame-175" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166438_fmt.png" alt="Image166438.PNG" /> при <img class="frame-176" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166448_fmt.png" alt="Image166448.PNG" />. Контур <img class="frame-128" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166468_fmt.png" alt="Image166468.PNG" /> представляет собой часть контура <img class="frame-169" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166482_fmt.png" alt="Image166482.PNG" />, лежащую в правой полуплоскости, <img class="frame-177" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166500_fmt.png" alt="Image166500.PNG" /> – функция Бесселя первого рода [Справочник …, 1979]. Для получения ИУ с убывающим символом ядра вынесем из обеих частей оператор вида <img class="frame-178" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166528_fmt.png" alt="Image166528.PNG" />, где <img class="frame-179" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166544_fmt.png" alt="Image166544.PNG" />. В результате получим: <img class="frame-180" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/168358.png" alt="168358.png" /> (9) где <img class="frame-181" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166596_fmt.png" alt="Image166596.PNG" /> – функция Инфельда, <img class="frame-182" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166603_fmt.png" alt="Image166603.PNG" /> – функция Макдональда. В силу неограниченности функции Макдональда [Справочник …, 1979] при <img class="frame-183" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166622_fmt.png" alt="Image166622.PNG" />, следует положить <img class="frame-86" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166645_fmt.png" alt="Image166645.PNG" />. Тогда ИУ (9) запишется в виде: <img class="frame-184" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/168365.png" alt="168365.png" /> где <img class="frame-185" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166687_fmt.png" alt="Image166687.PNG" /> подлежит определению из условия равенства нулю раскрытия трещины на краю (при <img class="frame-183" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166707_fmt.png" alt="Image166707.PNG" />). Последнее ИУ, не нарушая общности, решается для <img class="frame-186" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166721_fmt.png" alt="Image166721.PNG" />, так как произвольную функцию можно представить в виде разложения в ряд по функциям Бесселя. В работе [Telyatnikov, Pavlova, 2023] предложен следующий вид функций <img class="frame-152" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166737_fmt.png" alt="Image166737.PNG" />: <img class="frame-187" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/168386.png" alt="168386.png" /> где <img class="frame-128" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166786_fmt.png" alt="Image166786.PNG" /> составляют полярное множество <img class="frame-139" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166812_fmt.png" alt="Image166812.PNG" />, <img class="frame-182" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166828_fmt.png" alt="Image166828.PNG" /> – постоянные, определяемые впоследствии из условия (8). Обсуждение результатов Наличие в деформируемой среде неоднородностей при некоторых условиях приводит к локализации волнового процесса и возникновению резонансов в условиях вибрации, этот эффект может наблюдаться как для множественных отслоений, так и для одиночной трещины. Но присутствие системы трещин усложняет обнаружение таких дефектов: если одиночная трещина, как правило, экспериментально поддается локации, то совокупность дефектов может сильно рассеивать падающий сигнал. Условия локализации обусловлены наличием у оператора соответствующей краевой задачи определенных спектральных свойств и сформулированы в виде теорем в работе [Бабешко, 2000]. Теорема [Бабешко, 2000]: Пусть для заданного вируса параметры задачи таковы, что имеет место равенство: <img class="frame-188" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/168419.png" alt="168419.png" /> (10) тогда «вирус» локализует волновой процесс в своей окрестности. Здесь <img class="frame-128" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166889_fmt.png" alt="Image166889.PNG" /> образуют корневое множество <img class="frame-130" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166912_fmt.png" alt="Image166912.PNG" />; вектор-функция <img class="frame-189" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166919_fmt.png" alt="Image166919.PNG" /> – решение СИУ, которую можно получить из (5), (6) путем замены матрицы Фурье символа ядра на вариант задачи для среды с сильным затуханием <img class="frame-190" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166936_fmt.png" alt="Image166936.PNG" />. Развивая теоретические построения в рамках затронутой проблемы, построение условий (10) требует определения корневого множества <img class="frame-139" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166953_fmt.png" alt="Image166953.PNG" />. Используя символы <img class="frame-191" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166969_fmt.png" alt="Image166969.PNG" /> блочной матрицы <img class="frame-123" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image166997_fmt.png" alt="Image166997.PNG" /> описанной задачи для пакета слоев с фиксированной нижней гранью и действующим на поверхности штампом, можно получить аналитические представления <img class="frame-183" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image167006_fmt.png" alt="Image167006.PNG" /> Корневое множество <img class="frame-139" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image167030_fmt.png" alt="Image167030.PNG" /> включает полярные множества определителей матриц-символов Грина однородных слоев с параметрами первого и последнего слоев с условием (3) на нижней границе и полярные множества определителей матриц-символов Грина однородных слоев со свободной верхней границей с характеристиками внутренних слоев, что полностью согласуется с результатами, полученными в работах [Пряхина, Смирнова, 2006, 2012]. На рисунке 1 представлены кривые полюсов и нулей элементов и определителей матриц для задачи о колебаниях среды с трещинами в интерфейсных плоскостях. Так рисунок 1а иллюстрирует нули и полюса элемента <img class="frame-192" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image167046_fmt.png" alt="Image167046.PNG" /> в случае одиночной трещины в интерфейсной плоскости двухслойного пакета, рисунку 1b соответствует трехслойный пакет с трещиной между вторым и третьим слоями (коэффициенты Пуассона <img class="frame-193" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image167062_fmt.png" alt="Image167062.PNG" />. Толщины слоев приведены в безразмерных величинах (для обоих случаев <img class="frame-194" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image167081_fmt.png" alt="Image167081.PNG" />, <img class="frame-192" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image167097_fmt.png" alt="Image167097.PNG" />), нижняя граница пакета защемлена, верхняя – свободна от нагрузок. На рисунке 1c приведены нули и полюса определителя матрицы <img class="frame-123" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image167104_fmt.png" alt="Image167104.PNG" /> пакета из двух слоев со свободной поверхностью и интерфейсной трещиной <img class="frame-130" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image167128_fmt.png" alt="Image167128.PNG" />, <img class="frame-192" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image167146_fmt.png" alt="Image167146.PNG" />), а на 1d – определителя матрицы <img class="frame-123" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image167165_fmt.png" alt="Image167165.PNG" /> для четырехслойной среды, с нагруженной верхней гранью <img class="frame-130" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image167179_fmt.png" alt="Image167179.PNG" />, <img class="frame-195" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image167195_fmt.png" alt="Image167195.PNG" />). Трещины в пакете расположены между первым и вторым, а также между третьим и четвертым слоями. Всюду на графиках черными сплошными линиями обозначены полюса, а пунктиром – нули (синим – однократные, красным – двукратные). По оси абсцисс отложена приведенная частота колебаний <img class="frame-196" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image167545_fmt.png" alt="Image167545.PNG" /> (<img class="frame-123" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image167561_fmt.png" alt="Image167561.PNG" /> – частота колебаний, <img class="frame-169" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image167570_fmt.png" alt="Image167570.PNG" /> – размерный линейный параметр, <img class="frame-154" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image167596_fmt.png" alt="Image167596.PNG" /> – плотность и модуль сдвига верхнего слоя), по оси ординат – параметр преобразования Фурье. <img class="frame-197" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/168443.png" alt="168443.png" /> Рис. 1. Нули и полюса элементов и определителей матриц-символов / Fig. 1. Zeros and poles of elements and determinants of matrix symbols В работе [Собисевич, 2010] рассматривалась задача об установившихся колебаниях точек упругого однородного полупространства в случае, когда сейсмогравитационный процесс формируется вибрацией берегов круглой в плане трещины, рассчитаны дисперсионные характеристики для различных параметров среды. Описанный в настоящей работе подход позволяет на основе рассчитанных нулей и полюсов для слоистых сред найти скачки перемещений на берегах трещин как решения СИУ. На рисунке 2 приведены вещественные части комплексных амплитуд раскрытия круглой интерфейсной трещины в двухслойном пакете (<img class="frame-198" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image167644_fmt.png" alt="Image167644.PNG" /> для<img class="frame-199" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image167662_fmt.png" alt="Image167662.PNG" /> при разных значениях параметра <img class="frame-200" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/Image167669_fmt.png" alt="Image167669.PNG" />. <img class="frame-201" src="Геол_журн__№2_2025__-web-resources/image/168462.png" alt="168462.png" /> Рис. 2. Вещественная часть скачка перемещений на берегах круглой трещины / Fig. 2. The real part of the jump in displacements on the banks of a circular crack Выводы В настоящее время активно развиваются новые вибрационные геотехнологии, требующие теоретического обоснования на основе методов математического моделирования. В работе исследованы механико-математические модели геологических материалов, описывающие упругие колебания слоистых структур с планарными трещинами. Ключевым вопросом в исследовании задач для слоистых оснований с нарушениями сплошности межслойного контакта является построение и решение порождаемых ими интегральных уравнений и систем интегральных уравнений. Использованный в работе алгоритм построения СИУ смешанных задач основан на формализме МБЭ. Предложенные подходы дают возможность изучить процессы вибрации слоистых структур, генерируемых осциллирующими нагрузками на поверхности и внутренних неоднородностях для различных физико-механических и геометрических характеристик составляющих их слоев-блоков.

Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. – 265 с.

Бабешко В.А. Среды с неоднородностями (случай совокупности включений и трещин). // Известия РАН. МТТ. – 2000. – Т. 373. № 3. – С. 5–9.

Ватульян А.О., Баранов И.В. Об определении конфигурации трещины в анизотропной упругой среде. // Акустический журнал. – 2005. – Т. 51. № 4. – С. 456–462.

Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. – 320 с.

Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной в плане формы. // Прикладная математика и механика. – 1996. – Т. 60. № 2. –С. 282–289.

Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В. Блокирование и локализация энергии в упругих слоистых волноводах с дефектами. // Акустический журнал. – 2006. – Т. 52. № 3. – С. 314–325.

Заалишвили В.Б., Голик В.И. Геофизическое обеспечение горного производства. // Геология и Геофизика Юга России. – 2024. – Т. 14. № 3. – С. 85–98. DOI: 10.46698/t6803-6487-0430-d.

Изменение окружающей среды и климата: в 8 томах. / Редакционно-издательский совет: Н.П. Лаверов и др. – М.: ИФЗ РАН. Т. 1: Сейсмические процессы и катастрофы. – 2008. – 404 с.

Кардовский И.В., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Решение динамической задачи для трехслойной среды с трещинами. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. – 2004. – №3. – С. 38–43.

10.

Пряхина О.Д., Смирнова А.В. Интегральные уравнения динамических задач для многослойных сред, содержащих систему трещин. // Прикладная математика и механика. – 2005. – Т. 69. Вып. 2. – С. 345–351.

11.

Пряхина О.Д., Смирнова А.В. Построение определителей матриц-символов Грина трехслойных сред с дефектами различной природы. // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. – 2012. – Т. 9. № 2. – С. 56–63.

12.

Пряхина О.Д., Смирнова А.В. Построение определителей матриц-символов Грина многослойных сред с дефектами на основе теории «вирусов» вибропрочности. // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. – 2006. – Т. 3. № 2. – С. 44–54.

13.

Собисевич А.Л. Избранные задачи математической геофизики и вулканологии. М.: ИФЗ РАН, 2010. – 464 с.

14.

Собисевич Л.Е., Собисевич А.Л., Фатьянов А.Г. Длиннопериодные сейсмогравитационные процессы в литосфере. М.: ИФЗ РАН, 2020. – 228 с.

15.

Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. / Под редакцией М. Абрамовица, И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 с.

16.

Стогний В.В., Заалишвили В.Б., Пономарева Н.Л. Современная геодинамика и сейсмичность Северного Кавказа: проблемы мониторинга. // Геология и геофизика Юга России. – 2022. – Т. 12. № 2. – С. 34–52. DOI: 10.46698/VNC.2022.25.32.003.

17.

Стогний П.В., Хохлов Н.И., Петров И.Б. Моделирование волновых процессов в геологических трещиноватых средах с использованием модели Шонберга. // Прикладная математика и механика. – 2020. – Т. 84. № 3. – С. 375–386. DOI: 10.31857/S0032823520030091.

18.

Ткачев Г.В. Динамическая задача о вибрации трещины в упругом слое. / Рук. деп. в ВИНИТИ 16 июля 1979 г. № 2595-79. Ростов-на-Дону: РГУ, – 1979.

19.

Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. Topological method of solving boundary-value problems and block elements. // Doklady Physics. – 2013. – Vol. 58. No. 4. – pp. 152–155. DOI: 10.1134/S1028335813040083.

20.

Bostrom A. Review of hypersingular integral equation method for crack scattering and application to modeling of ultrasonic nondestructive evaluation. // Applied Mechanics Reviews. – 2003. – Vol. 56. – pp. 383–405.

21.

Ceeseman B.A., Santare M.H., Thermal residual stress and interphase effects on crackinclusion interaction. // Journal of Composite Materials. – 2002. – Vol. 36. No. 5. – pp. 553–569.

22.

England A.H. A crack between dissimilar media. // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. – 1965. – Vol. 32. – pp. 400–402.

23.

Erdogan F. Stress distribution in a nonhomogeneous elastic plate with cracks. // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. – 1963. – Vol. 30. – pp. 232–237.

24.

Komatitsch D., Tromp J. Introduction to the spectral element method for three-dimensional seismic wave propagation. // Geophysical Journal International. – 1999. – Vol. 139. No. 3. – pp. 806–822.

25.

Pavlova A.V., Telyatnikov I.S. Method for studying mixed problems in modeling structurally inhomogeneous materials with coatings. // Journal of Physics: Conference Series. – 2019. – Vol. 1353. Art. No. 012069. DOI: 10.1088/1742-6596/1353/1/012069.

26.

Shifrin E.I. Inverse spectral problem for a rod with multiple cracks. // Mechanical Systems and Signal Processing. – 2015. – Vol. 56–57. – pp. 181–196. DOI: 10.1016/j.ymssp.2014.11.004.

27.

Telyatnikov I.S., Pavlova A.V. Fictitious Absorption Method in a Dynamic Problem for a Layer Weakened by a Crack. // Advanced Structured Materials. – 2023. – Vol. 176. – pp. 211–230. DOI: 10.1007/978-3-031-17073-7_14.