Геология и Геофизика Юга РоссииГеология и Геофизика Юга России2221-3198Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Федеральный научный центр "Владикавказский научный центр Российской академии наук"112810.46698/VNC.2025.25.51.004ГеофизикаО предвестнике повышенной сейсмичности в области перехода горной территории в равниннуюБабешкоВ.А.rector@kubsu.ruЕвдокимоваО.В.ras@ssc-ras.ru; babeshko41@mail.ruБабешкоО.М.ЕвдокимовВ.С.ЗарецкаяМ.В.ХрипковД.В.Кубанский государственный университет, Россия, 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149Южный научный центр РАН, Россия, 344006, г. Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 412403202514555Copyright (c) 2024 Геология и геофизика Юга России2024Геология и геофизика Юга России<p>Актуальность работы состоит в необходимости дальнейшего поиска предвестников повышенной сейсмичности в территориях, в которых горные массивы переходят в равнины. Строгих механико-математических подходов исследования сейсмичности в таких территориях мало, в связи с тем, что они требуют решения некоторых проблем в теории интегральных уравнений. Целью проведенных исследований явилось выявление зоны повышенной сейсмичности в области перехода горной территории в равнинную. Методы работы. Для исследования использовано решение контактной задачи о концентрации контактных напряжений в зоне перехода горного массива в равнинную территорию. Предполагается, что возвышающийся над равниной горный массив моделируется деформируемым штампом, который вместе с коренными породами расположен на анизотропном полупространстве, свойственном строению гранитного слоя литосферной плиты. В работе учитываются приливные Лунные воздействия, описываемые временной функцией. Выполнение поставленной задачи потребовало построения решения двумерного интегрального уравнения Винера-Хопфа с анизотропным символом ядра интегрального уравнения. Авторам работы удалось установить общий вид решений двумерного интегрального уравнения Винера-Хопфа с анизотропным символом, доказать его удовлетворение интегральному уравнению. Случай деформируемого штампа впервые рассматривается в настоящей работе. Для описания деформируемого штампа принято разложение решения граничной задачи для штампа сложной реологии по решениям граничных задач для штампов упрощенной реологии, даваемых уравнениями Гельмгольца. Результаты исследования. В процессе исследования, получено представление распределения контактных напряжений под деформируемым штампом. Установлено, что в приграничных зонах деформируемого штампа происходит, при приближении к прямолинейной границе, нарастание контактных напряжений. Наибольший рост концентрации контактных напряжений отмечается при приближении к вершине угла деформируемого штампа. Получены функции, описывающие нарастание концентраций напряжений.</p>contact problemdeformable stampsincreased seismicitystress concentrationmountainous areasконтактная задачадеформируемые штампыповышенная сейсмичностьконцентрация напряженийгорные территории<p>Введение</p> <p>В работе исследование сейсмичности в области перехода горной территории в равнинную на предмет разрушения среды выполняется, следуя научным рекомендациям выдающихся ученых академиков Г.А. Гамбурцева и М.А. Садовского. Г.А. Гамбурцеву принадлежит следующее высказывание [Гамбурцев, 1982]: «Изыскание методов прогноза времени землетрясений следует направить в первую очередь в сторону поиска механических предвестников землетрясений. Такие поиски могут быть успешными только в том случае, если они будут основываться на глубоком изучении всех деталей механизма быстрых и медленных движений блоков земной коры сейсмоактивных районов». М.А. Садовскому [Садовский и др., 1987] принадлежит утверждение о невозможности прогноза землетрясений, основываясь лишь на слоистом строении коры Земли; необходимо учитывать реально существующие блочные модели. Именно эти рекомендации положены в основу изучаемого подхода прогноза уровня сейсмичности в горно-равнинных территориях. Вместе с прекрасными работами известных исследователей [Заалишвили и др., 2021; Чернов, 1989; Lu et al., 2007; Chernov et al., 2020; Xia et al., 2004, 2005; Scholz et al., 1973; Mitchell et al., 2013, 2015; Di Toro et al., 2011 и др.], успешно применявших глубокие механико-математические методы в геофизике, в настоящей работе развивается еще один механико-математический подход, опирающийся на последние достижения в механике контактного взаимодействия. </p> <p>В частности, в работе [Заалишвили и др., 2021] выявлены важные особенности поведения среды в нелинейной постановке. В настоящей работе развивается метод решения и исследования двумерного интегрального уравнения Винера-Хопфа, возникающего в анизотропной контактной задаче теории упругости [Ворович, Бабешко, 1979]. Этот подход основан на открывшейся возможности рассмотрения контактных задач с деформируемым штампом, что достигается применением блочных элементов, являющихся объектами дискретного топологического пространства. В настоящее время топологические методы проникают в разные направления науки и инженерной практики [Awrejcewiez et al., 2021; Arhore et al., 2021; Fernandez et al., 2021; Gonçalves et al., 2020; Huang et al., 2020; Pena, Rapun, 2020; Xavier et al., 2020]. С учетом подхода в этой работе оказалось возможным выявить в одном из типов зон горных территорий предвестник землетрясений, связанных с приливными колебаниями. В настоящей работе продолжен поиск, при таких же внешних воздействиях, возможных новых предвестников повышенной сейсмичности механического типа в горно-равнинных территориях.</p> <p>Постановка задачи</p> <p>Будем рассматривать линейно-упругую многослойную среду конечной толщины, на верхней границе которой расположен деформируемый штамп, занимающий область первого квадранта. Для учета приливного воздействия Луны, считается, что штамп гармонически вертикально колеблется с частотой <img class="frame-7" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139761.png" alt="139761.png" /> по закону, описываемому функцией <img class="frame-26" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139769.png" alt="139769.png" />, которая, в дальнейшем, исключается из линейной системы, оставляя амплитудные функции. На верхней границе многослойной среды располагается декартова система координат с осью <img class="frame-27" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139776.png" alt="139776.png" />, направленной по нормали наружу, и остальными осями <img class="frame-28" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139784.png" alt="139784.png" />, расположенными в касательной плоскости. Принимая во внимание возможность применения универсального метода моделирования, позволяющего представлять решения граничной задачи для деформируемого штампа из материала сложной реологии разложенными по решениям граничных задач для уравнений простых реологий, применим в дальнейшем этот подход. Опираясь на этот подход, будем считать, что материал деформируемого штампа, имитирующего горную гряду (рис. 1), описывается уравнением Гельмгольца, рассматриваемым в первом квадранте, а штамп действует на среду без трения. Для решения контактной задачи с деформируемым штампом, предварительно требуется построить решения граничной задачи для деформируемого штампа, а уже потом обращаться к построению интегрального уравнения контактной задачи.</p> <p>Граничная задача для деформируемого штампа</p> <p>Рассмотрим граничную задачу для уравнения Гельмгольца, моделирующего материал деформируемого штампа простой реологии </p> <p><img class="frame-29" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139791.png" alt="139791.png" /> (1)</p> <p>Здесь <img class="frame-30" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139798.png" alt="139798.png" /> – оператор Лапласа, <img class="frame-31" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139806.png" alt="139806.png" /> – решение граничной задачи для уравнений Гельмгольца, <img class="frame-32" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139813.png" alt="139813.png" /> – воздействие на штамп со стороны многослойной среды в области контакта, <img class="frame-33" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139824.png" alt="139824.png" /> – внешнее воздействие на штамп сверху, например атмосферное давление или слой жидкости в подводном варианте. Для уравнения Гельмгольца ставится граничная задача Дирихле в предположении, что на границах задаются граничные условия вида</p> <p><img class="frame-34" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139835.png" alt="139835.png" /> (2)</p> <p> </p> <p><img class="frame-35" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140546.png" alt="140546.png" /> </p> <p>Рис. 1. Фрагмент горно-равнинной зоны на территории Краснодарского края / </p> <p>Fig. 1. A fragment of a mountain-plain zone on the territory of the Krasnodar Territory</p> <p> </p> <p>Вводится обозначение <img class="frame-36" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139853.png" alt="139853.png" />. Алгоритм метода блочного элемента, включающий этапы внешней алгебры, внешнего анализа и фактор-топологий, для совокупности блоков, описан во многих работах. После его применения к рассматриваемой граничной задаче, получаем, с учетом (1), (2) внешнюю форму в преобразовании Фурье, в виде </p> <p><img class="frame-37" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140559.png" alt="140559.png" /> (3)</p> <p> </p> <p> </p> <p>Здесь принято обозначение</p> <p> </p> <p><img class="frame-38" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140565.png" alt="140565.png" /> (4)</p> <p> </p> <p> </p> <p> </p> <p>В дальнейшем, ради краткости, если не будет оговорено отдельно, прописными буквами будем обозначать преобразование Фурье от функций, обозначенных строчными буквами, например, </p> <p><img class="frame-39" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140572.png" alt="140572.png" /> </p> <p>Первые четыре члена справа у функции <img class="frame-40" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139889.png" alt="139889.png" /> представляют преобразования Фурье неизвестного контактного напряжения <img class="frame-41" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139897.png" alt="139897.png" /> и неизвестные функционалы <img class="frame-42" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139904.png" alt="139904.png" /> от искомого контактного напряжения. Остальные члены справа представляют преобразования Фурье и функционалы от задаваемых внешних воздействий. </p> <p>Интегральное уравнение контактной задачи</p> <p>Рассматривается интегральное уравнение Винера-Хопфа, заданное в первом квадранте [Ворович, Бабешко, 1979]. Оно имеет вид (рис. 2):</p> <p> </p> <p><img class="frame-43" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140660.png" alt="140660.png" /> </p> <p>Рис. 2. На рисунке изображена часть неограниченной области первого квадранта, занятой деформируемым штампом / </p> <p>Fig. 2. The figure shows a part of the unlimited area of the first quadrant occupied bya deformable stamp</p> <p><img class="frame-44" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140635.png" alt="140635.png" />(5)</p> <p> </p> <p> </p> <p>Здесь <img class="frame-32" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139927.png" alt="139927.png" /> – искомые контактные напряжения под штампом, <img class="frame-45" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139935.png" alt="139935.png" /> – функция, описывающая внедрение подошвы штампа в среду.</p> <p>Функция <img class="frame-46" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139946.png" alt="139946.png" />, в общем случае комплекснозначная, порождается решением анизотропной граничной задачи в многослойной среде, является непрерывной и суммируемой на осях по обоим аргументам, с поведением на бесконечности вида:</p> <p><img class="frame-47" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139954.png" alt="139954.png" /> (6)</p> <p>Здесь <img class="frame-48" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139961.png" alt="139961.png" /> – контуры, лежащие на вещественной оси и отклоняющиеся от нее в динамических задачах гармонической во времени вибрации лишь обходя вещественные полюса, по малым полуокружностям, если они возникают [Бабешко и др., 1989].</p> <p>Метод решения</p> <p>Составим интегральное уравнение для определения контактных напряжений под деформируемым штампом. Для этого с учетом формул (1)-(4) представим перемещение <img class="frame-45" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139968.png" alt="139968.png" /> деформируемого штампа в области контакта в виде упакованного блочного элемента. Имеем:</p> <p><img class="frame-49" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140697.png" alt="140697.png" /> (7)</p> <p>Преобразуем представление внешней формы, разделив в ней неизвестные и заданные составляющие. Имеем: </p> <p><img class="frame-50" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140705.png" alt="140705.png" />(8)</p> <p> </p> <p> </p> <p> </p> <p> </p> <p>Приравняем вертикальные перемещения (5) поверхности многослойной среды <img class="frame-45" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139990.png" alt="139990.png" /> параметрам вертикального перемещения (7) <img class="frame-45" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/139997.png" alt="139997.png" /> деформируемого штампа снизу. Применив к этому равенству преобразование Фурье, получим, с учетом (8), соотношение вида:</p> <p><img class="frame-51" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140712.png" alt="140712.png" /> </p> <p>В результате приходим к функциональному уравнению, введя обозначение функций <img class="frame-52" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140020.png" alt="140020.png" />, <img class="frame-41" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140028.png" alt="140028.png" />: </p> <p><img class="frame-53" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140722.png" alt="140722.png" /> (9)</p> <p> </p> <p>Применив к соотношению (9) обращение Фурье, с учетом (5), получаем интегральное уравнение контактной задачи о действии деформируемого штампа на многослойную среду в виде:</p> <p><img class="frame-54" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140727.png" alt="140727.png" />(10)</p> <p> </p> <p> </p> <p> </p> <p> </p> <p>Воспользуемся недавно полученным решением двумерного интегрального уравнения Винера-Хопфа, вида (10), в контактной задаче для абсолютно жесткого штампа. В настоящей работе оно впервые применяется для случая деформируемого штампа в виде, удобном для механического анализа</p> <p><img class="frame-55" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140738.png" alt="140738.png" /> (11)</p> <p> </p> <p> </p> <p> </p> <p>Вид операторов факторизации, участвующих в (11) приведен в [Ворович, Бабешко, 1979] и здесь не повторяется.</p> <p>Результат исследования</p> <p>Полученное представление позволяет описать составляющие решения (11) по их роли в представлении поведения контактных напряжений под штампом. После вычисления интеграла обратного преобразования Фурье в (11) функция <img class="frame-56" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140067.png" alt="140067.png" /> описывает вырожденную составляющую контактных напряжений под штампом, которая формируется вдали от границ штампа. Она приближенно равна решению уравнения свертки, возникающему в случае, если штамп не имеет границ и занимает все четыре квадранта. </p> <p>Составляющая <img class="frame-57" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140074.png" alt="140074.png" /> описывает концентрацию контактных напряжений при приближении изнутри к прямолинейным границам штампа <img class="frame-58" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140083.png" alt="140083.png" /> или <img class="frame-59" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140090.png" alt="140090.png" />. Эта концентрация контактных напряжений совпадает с описываемой в [Ворович, Бабешко, 1979] при приближении к границе полуплоскостного штампа, которая является прямой линией. Асимптотическое вычисление интеграла (11) у границ дает особенности вида <img class="frame-60" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140101.png" alt="140101.png" /> и <img class="frame-61" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140112.png" alt="140112.png" /> соответственно. Здесь функции <img class="frame-62" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140120.png" alt="140120.png" />, <img class="frame-48" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140130.png" alt="140130.png" /> являются непрерывными от своих параметров.</p> <p>Составляющая <img class="frame-63" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140138.png" alt="140138.png" /> при одновременном поведении <img class="frame-64" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140145.png" alt="140145.png" /> и <img class="frame-65" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140152.png" alt="140152.png" /> позволяет вычислить поведение концентрации контактных напряжений в угловой точке штампа. С учетом свойств символа ядра интегрального уравнения (6) поведение концентрации контактных напряжений в угловой точке описывается функцией <img class="frame-66" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140159.png" alt="140159.png" />. Значение <img class="frame-67" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140166.png" alt="140166.png" /> близко величине, вычисленной ранее приближенным численным методом в [Бабешко и др., 1989, стр. 129] для абсолютно твердого штампа, и может быть сопоставлено при <img class="frame-68" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140174.png" alt="140174.png" /> с кривыми рисунка 3. </p> <p> </p> <p><img class="frame-69" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140751.png" alt="140751.png" /> </p> <p>Рис. 3. Поведение параметра особенности <img class="frame-70" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140192.png" alt="140192.png" /> в угловой точке штампа для разных коэффициентов трения <img class="frame-71" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140203.png" alt="140203.png" />. Для сравнения с результатом статьи необходимо брать <img class="frame-72" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140211.png" alt="140211.png" /> / </p> <p>Fig. 3. Behavior of the feature parameter at the angular point of the die for different coefficients of friction <img class="frame-71" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140221.png" alt="140221.png" />. To compare with the result of the article, it is necessary to take <img class="frame-72" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140229.png" alt="140229.png" /> </p> <p> </p> <p>Таким образом, получено, что угловые точки деформируемого штампа также имеют в угловой точке максимальную концентрацию контактных напряжений. Опираясь на полученные результаты, можем заключить следующее: установлено, что в выбранной модели, имитирующей горно-равнинный ландшафт с границей горной гряды, имеющей угловые и прямолинейные участки, наиболее уязвимыми зонами являются зоны угловых точек, затем зоны прямолинейных границ. Именно они, в условиях вибрации от лунных приливных явлений, также являются зонами повышенной сейсмичности, подобно резонансным. </p> <p>Выводы</p> <p>Достоинством полученного результата является возможность моделирования сложных ландшафтных деформируемых объектов блочными элементами, позволяющими переходить к моделям более сложных реологий. Это позволяет не только получать качественную картину процессов, протекающих под горными грядами, но и вычислять коэффициенты <img class="frame-73" src="Геол_журн__№1_2025-web-resources/image/140236.png" alt="140236.png" /> перед особенностями, что дает возможность выполнять прогнозные заключения при их различных поведениях.</p>1.Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. – 344 с.2.Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. – 320 с.3.Гамбурцев Г.А Перспективный план исследований по проблеме «Изыскание и развитие прогноза землетрясений». // В сборнике: Развитие идей Г.А. Гамбурцева в геофизике. М.: Наука, 1982. – С. 304–311.4.Заалишвили В.Б., Мельков Д.А., Габараев А.Ф., Мерзликин Т.И. Нелинейные колебания грунтовой толщи по инструментальным и численным данным. // Геология и геофизика Юга России. – 2021. – Т. 11. No 4. – С. 70–82. DOI: 10.46698/VNC.2021.77.59.006.5.Садовский М.А., Болховитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. Деформирование геофизической среды и сейсмический процесс. М.: Наука, 1987. – 104 с.6.Чернов Ю.К. Сильные движения грунта и количественная оценка сейсмической оценки территории. Ташкент: Фан, 1989. – 296 с.7.Arhore E.G., Yasaee M., Dayyani I. Comparison of GA and topology optimization of adherend for adhesively bonded metal composite joints. // International Journal of solids and Structures. – 2021. – Vols. 226–227. 11107. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2021.111078.8.Awrejcewiez J., Krysko V.A., Mitskievich S.A., Zhigalov M.V., Krysko A.V. Nonlinear dynamics of heterogeneous shells. Part 1: Statics and dynamics of heterogeneous variable stiffness shells. // International Journal of Non-Linear Mechanics. – 2021. – Vol. 130. 103669. DOI: 10.1016/jijnonlinmec.2021.103669.9.Chernov Yu.K., Zaalishvili V.B., Chernov A.Yu. Strong ground motion simulation for forecasting the probable seismic impacts in the territory of the Republic of North Ossetia-Alania. // Izvestiya. Physics of the Solid Earth. – 2020. – Vol. 56. No. 5. – pp. 644–655. DOI: 10.1134/S1069351320050018.10.Di Toro G., Han R., Hirose T., De Paola N., Nielsen S., Mizoguchi K., Ferri F., Cocco M., Shimamoto T. Fault lubrication during earthquake. // Natire. – 2011. – Vol. 471. Issue 7339. – pp. 494–498. DOI: 10.1038/nature09838.11.Fernandez L., Novotny A.A., Prakash R., Sokołowski J. Pollution sources reconstruction based on the topological derivative method. // Applied Mathematics & Optimization. – 2021. – Vol. 84. – pp. 1493–152. DOI: 10.1007/s00245-020-09685-0.12.Gonçalves J.F., Moreira J.B.D., Salas R.A. et al. Identification problem of acoustic media in the frequency domain based on the topology optimization method. // Structural and Multidisciplinary Optimization. – 2020. – Vol. 62. – pp. 1041–1059. DOI: 10.1007/s00158-020-02638-9.13.Huang M., Lim X., Lei Y., Gu J. Structural damage identification based on modal frequency strain energy assurance criterion and flexibility using enhanced Moth-Flame optimization. // Structures. – 2020. – Vol. 28. – pp. 1119–1136. DOI: 10.1016/j.istruc.2020.08.085.14.Lu X., Lapusta N., Rosakis A.J. Pulse-like and crack-like ruptures in experiments mimicking crustal earthquakes. // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. – 2007. – Vol. 104. Issue 48. – pp. 18931–18936.15.Mitchell E., Fialko Y., Brown K. Frictional properties of gabbro at conditions corresponding to slow slip events in subduction zones. // Geochemistry, Geophysics, Geosystems. – 2015. – Vol. 16. – pp. 4006–4020.16.Mitchell E., Fialko Y., Brown K. Temperature dependence of frictional healing of westerly granite: Experimental observations and numerical Simulations. // Geochemistry, Geophysics, Geosystems. – 2013. – Vol. 14. – pp. 567–582.17.Pena M., Rapun M.L. Application of the topological derivation to post-processing infrared time-harmonic thermograms for defect detection. // Journal of Mathematics in Industry. – 2020. – Vol. 10. DOI: 10.1186/s13362-020-0072-9.18.Scholz C.H., Sykes L.R., Aggarwal Y.P. Earthquake prediction: a physical basis. // Science. – 1973. – Vol. 181. No. 4102. – pp. 803–810.19.Xavier M., Van Goethem N., Novotny A.A. Hydro-mechanical fracture modeling governed by the topological derivatives. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2020. – Vol. 365. 112974. DOI: 10.1016/j.cma.2020.112974.20.Xia K., Rosakis A.J., Kanamori H. Laboratory Earthquakes: The Sub-Rayleigh-to-Supershear Rupture Transition. // Science. – 2004. – Vol. 303. – pp. 1859–1861.21.Xia K., Rosakis A.J., Kanamory H., Rice J.R. Laboratory Earthquakes along Inhomogeneus Faults: Directionality and Supershear. // Science. – 2005. – Vol. 308. – pp. 681–684.